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Metodi Monte Carlo per la Valutazione di Opzioni

Metodi Monte Carlo per la Valutazione di Opzioni

P. Pellizzari 1
Dipartimento di Matematica Applicata
UniversitÓ ``Ca' Foscari'' di Venezia, DD 3825/E
30123 Venezia

Abstract

Questo tutorial offre una presentazione elementare dei metodi Monte Carlo con enfasi sulle applicazioni finanziarie per il prezzaggio di titoli derivati. In sintesi, saranno brevemente illustrate la storia dei metodi Monte Carlo, basi matematiche e statistiche del metodo, generazione di numeri pseudo-casuali (uniformemente e normalmente distribuiti), successioni quasi-casuali generazione di sentieri di prezzi ``neutrali al rischio'', tecniche di riduzione della varianza.


Keywords: Metodi Monte Carlo, pricing.


1  Introduction

Le citazioni del presente articolo sono ottenute mediante il comando unix fortune -a -m random e fortune -a -m chance.

Questo tutorial vuole presentare alcuni aspetti dei metodi Monte Carlo (MMC), con particolare enfasi sulle applicazioni di prezzaggio di titoli finanziari. La trattazione sarÓ forzatamente sbrigativa, sia per il poco spazio disponibile che per la vastitÓ del materiale scientifico prodotto in questi ultimi anni. Alcuni degli sviluppi pi¨ recenti saranno illustrati in un'altra lezione di questa scuola.

Nella sezione successiva saranno dati alcuni cenni storici sul MMC e, in particolare, sulle applicazioni finanziarie. La sezione 3 descrive le basi statistiche e matematiche dei MMC. L'interpretazione del metodo alla luce dell teorema del limite centrale Ŕ alla base dell'uso di numeri pseudocasuali. D'altro canto l'osservazione che l'uso della simulazione MC equivale alla valutazione di un integrale, apre la strada a tecniche che sono sfociate, ad esempio, nell'utilizzo di numeri quasi-casuali. Nella sezione 4 discuteremo della generazione di numeri casuali dando anche un breve e non esaustivo elenco dei pi¨ diffusi generatori di numeri casuali. La generazione di numeri casuali normalmente distribuiti assume una particolare importanza nell'ambito di problemi di prezzaggio, vista l'ubiquitÓ dell'ipotesi di passeggiata lognormale dei prezzi. La sezione 5 descrive la tecnica di prezzaggio mediante generazione di payoff corretti per il rischio. Infine, nell'ultima sezione si affronta il tema della riduzione della varianza. In maggior dettaglio, illustreremo la tecnica delle variabili antitetiche, di facile e ampio utilizzo, e delle variabili di controllo.

2  Le origini del metodo Monte Carlo

Only God can make random selections.

La versione pi¨ diffusa sulle origini del MMC le fa risalire ai primi anni 40, quando J. Von Neumann lavorava nei laboratori di Los Alamos. Nella simulazione di sistemi nucleari complessi si utilizzarono per la prima volta numeri ``casuali''. Il nome del metodo fu coniato ricordando la sede del celebre casin˛, regno per antonomasia del caso.

N. Metropolis per˛, citando una conversazione con E. Segre in [Metropolis, 1987], racconta che E. Fermi ``invent˛ il MMC quando stava studiando come moderare i neuroni a Roma. Non pubblic˛ nulla sull'argomento, ma us˛ il metodo per risolere molti problemi con ogni tipo di macchina di calcolo a disposizione... Fermi si compiaceva di stupire i colleghi con previsioni estremamente accurate di risultati sperimentali. Rivel˛ infine che le sue ``stime" erano ottenute con tecniche di campionamento statistico impiegate nelle ore di insonnia. E cosý Fermi aveva indipendentemente sviluppato il MMC quasi 15 anni prima (di Von Neumann)". La storia appare credibile tenendo conto delle leggendarie capacitÓ intellettuali di Fermi e considerando che Metropolis stesso, inventore di un celebre algoritmo di campionamento che porta il suo nome, lavor˛ a Los Alamos nel gruppo di Von Neumann.

Nella prima applicazione finanziaria del 1977 ([Boyle, 1977]) si presenta un metodo per la valutazione di opzioni europee (anche in presenza di dividendi). Fin dall'articolo di Boyle si coglie come la velocitÓ del metodo possa risultare insoddisfacente e il prezzo dell'opzione scritta su un titolo che non paga dividendi, calcolabile con la formula di Black-Scholes, Ŕ usato per ridurre la varianza del prezzo dell'opzione in presenza di dividendi.

Nel 1990, Kemna e Vorst affrontano con successo il problema di valutare un'opzione asiatica il cui payoff dipende da una media aritmetica di prezzi, . Il risultato Ŕ significativo perchÚ non Ŕ nota una formula chiusa di valutazione per questo tipo di prodotto finanziario derivato. Anche in questo caso, la varianza della stima prodotta Ŕ ridotta mediante l'uso di una variabile di controllo. Nel caso specifico, si tratta del prezzo di una opzione con payoff dipendente dalla media geometrica dei prezzi per cui Ŕ nota una formula analitica di valutazione.

Il successo ottenuto nel prezzaggio di opzioni asiatiche rende palese che MMC Ŕ particolarmente appropriato per opzioni europee e path-dependent (cioŔ il cui payoff dipende dall'intera traiettoria dei prezzi e non solo dal valore finale del sottostante). Nel corso degli anni `90 il numero di articoli dedicati ad applicazioni finanziarie di MMC diventa enorme. In molti casi, essenzialmente riconducibili a opzioni dipendenti da molti fonti di rischio (titoli, tassi d'interesse o di cambio...), si tratta dell'unico metodo in grado di produrre delle valutazioni approssimate, pur con necessitÓ di calcolo talvolta massicce. Altri metodi, basati su alberi o sulla risoluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali, sono infatti applicabili con notevoli difficoltÓ teoriche e pratiche al caso di 3 o pi¨ fonti di rischio. L'impiego dei MMC Ŕ invece poco sensibile al problema della dimensionalitÓ, almeno per quanto riguarda la fase di programmazione, essendo sufficiente generare vettori di numeri casuali piuttosto che singole variabili casuali. Inoltre, l'ordine di convergenza del MMC Ŕ indipendente dalla dimensione del problema. ╚ tuttavia ovvio che risolvere un problema multidimensionale Ŕ computazionalmente pi¨ costoso di un semplice problema monodimensionale, non fosse altro che per il maggior costo di generare tutte le componenti del vettore casuale.

In [Boyle et al., 1997] si pu° trovare una panoramica delle recenti applicazioni finanziarie dei MMC.

3  Monte Carlo: statistica e matematica

If the odds are a million to one against something occurring, chances are 50-50 it will.

Il fondamento statistico dei MMC Ŕ il teorema del limite centrale, che assicura che la media di N variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite con media m si distribuisce approssimativamente in modo normale, con media m e varianza tendente a zero con N. Formalmente:

Proposition 1 Sia X1,,XN, una successione di variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite,

E[Xi] = m,Var[Xi] = s2, i = 1,,ą.
Allora, detta SN = 1/Nňi = 1NXi si ha
SN« N Š
š
Ŕ
m, s2
N
÷
¸
°
,
cioŔ SN si distribuisce normalmente con media m e varianza s2/N per N grande.

Le ipotesi del teorema possono essere notevolmente indebolite, ad esempio consentendo blanda correlazione fra le X. Se identifichiamo la variabile Xi con il `payoff' del titolo derivato all'i-esima simulazione, possiamo evidenziare i seguenti punti:

Il termine payoff appare fra virgolette perchÚ non si tratta del payoff fisico ma di una sua versione corretta per il rischio, come vedremo in seguito. Per il momento osserviamo che dopo un momento di iniziale entusiasmo, il quarto punto appena esposto merita una ulteriore riflessione critica. Supponiamo che la precisione della stima sia misurata dalla sua deviazione standard (tanto miniore Ŕ, tanto meglio). Se Ŕ vero che aumentando N la deviazione standard diminuisce tendendo a zero, Ŕ pur sempre vero che la velocitÓ di convergenza Ŕ molto lenta. PoichÚ la deviazione standard tende a zero con 1/ÍN, per dimezzare l'errore bisogna quadruplicare il numero di simulazioni e quindi, si noti bene, anche il tempo di calcolo. Questo significa che l'ottenimento di piccole deviazioni standard potrebbe richiedere tempi di calcolo inaccettabilmente lunghi.

Quanto appena esposto non Ŕ per° l'unico modo in cui si pu° interpretare il MMC. Il calcolo della media, infatti, si pu° descrivere anche in termini diversi. Sia f una funzione integrabile (in termini finanziari, un payoff) e supponiamo per semplicitÓ che sia non nulla solo nell'intervallo [0,1]. Questo non riduce la generalitÓ di quanto andiamo dicendo. Allora possiamo approssimare l'integrale di f con delle somme:

E[f]: = ˇ
§
1

0 
f(x)dx 1
N
N
ň
i = 1 
f(xi),
(3.1)
dove ciascun xi [0,1]. L'approssimazione Ŕ tanto migliore quanto pi¨ fitti e numerosi sono i punti impiegati. Non abbiamo fatto nulla di diverso da prima, cioŔ generazione di molti xi uniformemente distribuiti e calcolo della media dei payoff. Ma riconoscere che la struttura del problema equivale ad integrare la funzione f da un lato ci svincola da ipotesi statistiche sugli xi (ad esempio, l'indipendenza) e dall'altro suggerisce che con una scelta accorta del metodo d'integrazione si potrebbero ottenere risultati migliori di quanto possibile con l'approssimazione naif (3.1). Si pensi all'utilizzo di tecniche di quadratura (dovute originariamente a Gauss) in cui ˛f Ŕ approssimato come
ˇ
§
f(x) dx p
ň
i = 1 
aif(yi),
in cui i pesi ai, i = 1,,p e i nodi yi,i = 1,,p sono scelti con cura e dipendono dalla funzione f. In maniera ancora pi¨ semplice, perchÚ non utilizzare in luogo della (3.1) una formula in cui gli xi sono equispaziati? Ne risulta la ben nota formula d'integrazione per rettangoli
ˇ
§
1

0 
f(x)dx 1
N
N
ň
1 
f(1/i),
che quasi certamente produce un errore, a paritÓ di N, inferiore a quanto ottenibile con xi casuali.

La lezione dei precedenti esempi d'integrazione Ŕ che una scelta deterministica e tutt'altro che casuale degli xi pu° produrre un grande miglioramento nel calcolo dei prezzi. Alcuni dei metodi che sfruttano questa idea sono detti quasi-Monte Carlo per distinguerli dagli usuali metodi ``statistici''. Qualora sia necessario, per rendere palese la loro casualitÓ si userÓ il prefisso ``pseudo''.

4  Generazione di numeri casuali

Anyone attempting to generate random numbers by deterministic means is, of course, living in a state of sin. (John Von Neumann)

4.1  Numeri casuali uniformemente distribuiti

Dopo aver brevemente tentato di descrivere i fondamenti del MMC, ci proponiamo in questa sezione di presentare alcuni metodi e algoritmi per la generazione dell'ingrediente base: numeri casuali. La frase citata in apertura mette in evidenza come il proporsi di creare casualitÓ mediante un computer rasenti la follia. Dove sarebbe la casualitÓ di sequenze di numeri generate da un programma completamente deterministico e che Ŕ banalmente in grado di riprodurre l'output a piacimento? Qual'Ŕ il concetto di caso di cui stiamo parlando? I numeri casuali generati da un computer sono considerati tali perchÚ soddisfano una serie di requisiti statistici di cui godono anche valori autenticamente casuali: risultano statisticamente indistinguibili (per indipendenza, proprietÓ spettrali e altro) da quello che vogliono imitare. Quindi, se non sono constatabili differenze con sequenze genuinamente stocastiche, questi numeri possono essere considerati casuali. Per mettere in evidenza questo aspetto, sono spesso denominati numeri pseudocasuali.

Il seguente risultato risultato spiega perchÚ la generazione di numeri casuali uniformemente distribuiti sia alla base della produzione di valori aventi anche altre distribuzioni di probabilitÓ continue.

Proposition 1 Sia F funzione di ripartizione continua, invertibile e sia U variabile casuale uniformemente distribuita nell'intervallo [0,1]. Allora

F-1(U) ~ F,
cioŔ F-1(U) si distribuisce con funzione di ripartizione F.

In sostanza, per generare numeri casuali con distribuzione arbitraria F, basta valutare l'inversa della funzione di ripartizione in corrispondenza di variabili casuali uniformi. Alcuni diffusi generatori di variabili casuali sono di seguito descritti:

4.2  Numeri quasi-casuali (uniformi)

Come accennato nella sezione 3 possiamo cercare di campionare numeri casuali in modo da riempire lo spazio `pi¨ uniformemente' di quanto sia possibile con estrazioni pseudocasuali: si pensi ad esempio a punti distribuiti su una griglia mono o bidimensionale, che evidentemente `riempiono meglio' il quadrato unitario: si veda nella Figura 1 una rappresentazione bidimensionale che illustra efficacemente le diverse caratteristiche di punti pseudocasuali e a griglia. L'uso di griglie nella simulazione si scontra con due problemi. Da un lato bisogna fissare a priori la dimensione della griglia con la spiacevole conseguenza che, qualora risultasse necessario aumentare il numero di simulazioni, non Ŕ banale evitare di ricalcolare il tutto con una griglia pi¨ fine. Dall'altro bisogna tenere conto che il numero di punti in una griglia cresce esponenzialmente nella dimensione dello spazio, producendo rapidamente richieste di calcolo intollerabili.

Figura Figura Figura
Figura 1: Esempi di generazione di punti casuali uniformemente distribuiti. Dall'alto: punti pseudocasuali, griglia, e punti quasi-casuali

Esiste tuttavia un modo per generare successioni di numeri ``casuali" di lunghezza non predeterminata: queste successioni sono dette quasi-casuali anche se non vi Ŕ nulla di aleatorio ma, al contrario, sono costituite di punti che si posizionano nei buchi lasciati dai punti precendenti. Un semplice esempio Ŕ la successione di Halton {Hj},j = 1,, ottenibile con la seguente procedura:

In sostanza la procedura consiste nel capovolgere le cifre dell'espansione in base b e porre un punto decimale di fronte a quanto ottenuto. Se sono necessari numeri casuali multidimensionali si pu˛ procedere generando per ciascuna componente una successione di Halton con radice b diversa. Solitamente si utilizzano in successione i numeri primi (2,3,5,...). Quanto detto graffia appena la superficie dell'argomento e rimandiamo gli interessati a [Joy et al., 1996,Dupire, 1998] e alla bibliografia ivi presente. L'uso di successioni di punti quasi-casuali Ŕ appetibile poichÚ l'integrazione di una funzione smooth f in un dominio n-dimensionale produce un'errore dell'ordine di

(logN)n
N
,
in cui N Ŕ il numero di simulazioni. Quindi, a fronte di una convergenza di tipo N-1/2 tipica dei numeri pseudocasuali, l'utilizzo di sequenze quasi-casuali produce errori decrescenti quasi alla velocitÓ di 1/N. Si noti che sono comunque richieste proprietÓ di regolaritÓ della funzione f e che n elevati potrebbero rendere meno utile il ricorso a numeri quasi-casuali.

4.3  Generazione di numeri normalmente distribuiti

Nella stragrande maggioranza della applicazioni finanziarie sono necessari dei valori normalmente distribuiti. In questo caso, l'inversione numerica della funzione di ripartizione normale F richiesta nella proposizione 4.1 Ŕ non banale. La valutazione di F, si ottiene a partire dalla funzione di errore complementare erfc(x) di cui Ŕ nota una eccellente approssimazione (circa 7 cifre decimali corrette), [Press et al., 1992]. Con le posizioni

erfc(x) = 1- 2
Í
p
 
ˇ
§
x

0 
e-y2dy,   z = |x|,   t = 1
1+z/2
,
(4.3)
si calcoli p come segue:
p2
=
t (-1.13520398 + t (1.48851587 + t (-0.82215223 + t 0.17087277)))
p1
=
t (0.09678418 + t (-0.18628806 + t (0.27886807 + p2)))
p
=
t exp(-z2 - 1.26551223 + t (1.00002368 + t (0.37409196 + p1))).
La valutazione di p eseguita a lÓ Horner consente tempi di calcolo quasi tre volte inferiori rispetto alla valutazione polinomiale ingenua.

Si verifica che

erfc(x) ý
Ý
ţ
p
x 0
2-p
altrimenti,
(4.4)
e F si pu˛ valutare come segue
F(x) =
2 - erfc Š
š
Ŕ
Í2
2
x ÷
¸
°

2
.
(4.5)

A questo punto, si procede a determinare numericamente x = F-1(u) risolvendo in x l'equazione u = F(x). Questo algoritmo Ŕ , ad esempio, utilizzato dal programma Mathematica nell'implementazione della funzione InverseErf. Si noti che, risolvendo la precedente equazione con il metodo di Newton, la derivata di F, richiesta nell'iterazione

xn+1 = xn- F(xn)-u
Fó(xn)
(4.6)
Ŕ nota analiticamente. ╚ del tutto evidente che questa procedura risulta molto costosa in termini di tempi di calcolo e che il suo uso Ŕ generalmente sconsigliato.

Una approssimazione diretta alla funzione F-1 si pu˛ trovare in [Moro, 1985].

L'inversione della funzione F non Ŕ l'unico modo in cui si possono ottenere numeri casuali normali a partire da valori uniformemente distribuiti: un metodo molto diffuso utilizza una trasformazione, detta di Box-Muller, che produce variabili casuali normali a coppie. Se U1, U2 sono uniformemente distribuite, allora

X1 = Í
-2lnU1
 
cos(2pU2),   X2 = Í
-2lnU1
 
sin(2pU2),
(4.7)
si distribuiscono come variabili normali standard (con media nulla e varianza unitaria). Non ci soffermeremo sui molti (e talvolta sottili) metodi rendere efficace la valutazione di (4.7), rimandando gli interessati a [Press et al., 1992] e alle referenze in esso contenute.

5  Pricing

I cannot believe that God plays dice with the cosmos (Albert Einstein, on the randomness of quantum mechanics).

Riprendiamo quanto detto nella sezione 3, quando abbiamo detto che il prezzo di un derivato Ŕ pari al valore atteso scontato dei suoi `payoff'. In [Cox et al., 1979] si mostra che, se esiste un portafoglio di copertura per il titolo derivato, allora il prezzo si ottiene come valore atteso, scontato al tasso free-risk, dei payoff neutralizzati rispetto al rischio. Con quest'ultima espressione si intendono i payoff generati da fonti di rischio aventi stesso rendimento medio dell'attivitÓ priva di rischio. Pi¨ formalmente, sia r l'intensitÓ istantanea di interesse priva di rischio, sia S un titolo (per fissare le idee, un'azione) con rendimento logaritmico normalmente distribuito N(mT,s2T). Ne segue che, detto S0 il prezzo iniziale dell'azione, al tempo T il suo valore Ŕ

ST = S0exp(z),
dove z ~ N(mT, s2T). Il valore atteso di ST Ŕ dato da
E[ ST] = S0exp Š
š
Ŕ
mT+ s2T
2
÷
¸
°
.
Per ottenere un rendimento uguale al tasso risk-free, modifichiamo il drift m e quindi consideriamo una nuova azione Só con rendimento zó ~ N((r-s2/2)T,s2T). ╚ immediato notare che il titolo con drift modificato ha lo stesso rendimento dell'attivitÓ priva di rischio. Il MMC calcola semplicemente il valore atteso dei payoff attualizzati del titolo `neutralizzato per il rischio' Só, ottenuto modificando il drift del titolo originale S fisicamente presente sul mercato. La Figura 2 mostra 10 cammini casuali del prezzo di un'azione (m = 0.2,s = 0.1,r = 0.05) e gli stessi cammini dopo la correzione del drift.

Figura Figura
Figura 2: Cammini fisici di un titolo con m = 0.2,s = 0.1 (in alto) e i medesimi cammini dopo la correzione del drift (in basso) per ottenere il rendimento r = 0.05. quasi-casuali

D'ora in poi denoteremo tutte le attivitÓ con S, omettendo l'apice per semplicitÓ.

Siamo ora in grado di determinare il prezzo [^C]T di un derivato che paga alla scadenza T la somma f(ST). Applicando la formula (3.1) e attualizzando si ottiene

^
C
 

T 
= exp(-rT) 1
N
N
ň
i = 1 
f(ST(i)),
(5.8)
in cui ST(i) denota la i-esima estrazione casuale di ST (ricordiamo, dopo la correzione `risk neutral' del drift).

Si supponga, ad esempio, di dover valutare una opzione call europea emessa su un titolo azionario che non paga dividendi con volatilitÓ annua s, tasso istantaneo r, valore iniziale S0, prezzo d'esercizio k, scadenza T. Si noti che non Ŕ necessario conoscere il drift fisico (m) del titolo. Il prezzo pu° essere valutato mediante il calcolo di

^
C
 

T 
= exp(-rT) 1
N
N
ň
i = 1 
f(ST(i)) = exp(-rT) 1
N
N
ň
i = 1 
max
(0,ST(i)-k),
dove
ST(i) = S0exp Ú
ŕ
Ű
Š
š
Ŕ
r- s2
2
÷
¸
°
T+sÍTzi ¨
˙
ű
,
e ogni zi Ŕ una variabile casuale normale standard.

La formula di valutazione (5.8) pu° essere utilizzata qualunque sia la funzione di payoff, e si estende facilmente al caso in cui il titolo S paga dividendi con continuitÓ al tasso (istantaneo) d. L'estensione multidimensionale di (5.8) Ŕ altrettanto immediata: se f(S1T,,SnT) Ŕ il payoff di un derivato scritto su n beni azionari, allora il prezzo Ŕ dato da

CT = exp(-rT) 1
N
N
ň
i = 1 
f(S1T(i),,SnT(i)).
Si noti che la precedente relazione Ŕ del tutto identica a (5.8) se si esclude il cambiamento della funzione di payoff che cessa di essere di una sola variabile.

6  Riduzione della varianza

We are all agreed that your theory is crazy. The question which divides us is whether it is crazy enough to have a chance of being correct. My own feeling is that it is not crazy enough (Niels Bohr).

Come abbiamo visto, la convergenza del MMC Ŕ dell'ordine di N-1/2. Graficamente, se poniamo sull'asse delle ascisse il logaritmo del numero di simulazioni N e sulle ordinate il logaritmo dell'errore medio otteniamo una retta con pendenza -1/2 che Ŕ evidente nella linea superiore della Figura 3. Fra i modi per ridurre l'errore possiamo pensare a metodi che riducano la pendenza o il termine noto della retta. Fra i primi ricordiamo l'uso di successioni quasi-casuali che producono pendenze prossime a -1. Fra i secondi tratteremo il metodo delle variabili antitetiche e daremo qualche cenno al metodo delle variabili di controllo. Ribadiamo che, asintoticamente, il MMC e le sue varianti antitetiche e con variabili di controllo producono un errore del medesimo ordine. Nondimeno, i miglioramenti in termini di accuratezza ottenibili con N finito sono talvolta enormi.

Figura
Figura 3: Errori percentuali ottenuti con diverse varianti di MMC. ╚ evidente la diversa pendenza (-1/2) delle due rette in alto, ottenute con metodi pseudcasuali, rispetto alle due in basso ( -1), ricavate con numeri quasi-casuali.

6.1  Variabili antitetiche

Supponiamo di dover valutare mediante simulazione Monte Carlo un titolo europeo con payoff f(S). Equivalentemente il payoff casuale si pu˛ pensare come funzione della variabile normale z:

f(S) = f Š
š
Ŕ
S0exp Ú
ŕ
Ű
Š
š
Ŕ
r- s2
2
÷
¸
°
T+sÍTz ¨
˙
ű
÷
¸
°
: = f(z).
Ora, poichÚ -z Ŕ anch'essa distribuita normalmente, si ha:
E[ f(z)[ = E Ú
ŕ
Ű
f(z)+f(-z)
2
¨
˙
ű
,
(6.9)
e si pu˛ provare che, se f Ŕ crescente, il secondo membro di (6.9) ha varianza inferiore rispetto al primo. Ne segue che la simulazione
exp(-rT) 1
2N
N
ň
i = 1 
(f(z(i))+f(-z(i)))
(6.10)
Ŕ preferibile alla simulazione semplice.

Per semplicitÓ di applicazione e per il suo modesto costo computazionale, il metodo delle varibili antitetiche Ŕ molto diffuso.

6.2  Variabili di controllo

Un'altra tecnica impiegabile per ridurre la varianza di una simulazione Ŕ quella delle variabili di controllo. Supponiamo di poter generare insieme ai valori campionari dei payoff si anche un'altra successione di variabili casuali {yi} positivamente correlati con si e tali che E[ yi] Ŕ costante e pari a E[ Y]. Risulta evidente che lo stimatore

1
N
N
ň
i = 1 
(si-yi+E[ Y])
(6.11)
Ŕ ancora uno stimatore corretto della media degli si. Si pu˛ provare che, se la correlazione fra gli {si} e gli {yi} Ŕ elevata, la varianza di (6.11) Ŕ inferiore a quella dello stimatore banale. L'uso di una variabile di controllo, di cui Ŕ nota la media, equivale a calcolare parte dell'integrale lasciando alla generazione casuale la valutazione della rimanente parte che ha varianza inferiore per la correlazione di s e y. Si noti comunque che non Ŕ sempre agevole determinare una variabile di controllo adeguata, cioŔ fortemente correlata con il payoff ma tale da consentire la valutazione analitica della media.

Tipicamente non c'Ŕ un metodo generale per la scelta di una variabile di controllo che spesso Ŕ selezionata caso per caso sulla base di specificitÓ del opzione in esame: sia [Boyle, 1977] che [Kemna and Vorst, 1990] utilizzano ad esempio variabili di controllo appositamente definite.

References

[Boyle, 1977]
Boyle, P. P. (1977). Option: a Monte Carlo approach. Journal of Financial Economics, 4:323-338.

[Boyle et al., 1997]
Boyle, P., Broadie, M., and Glasserman, P. (1997). Monte Carlo methods for security pricing. Journal of Economics Dynamics and Control, 21:1267-1321.

[Cox et al., 1979]
Cox, J. C., Ross, S. A., and Rubinstein, M. (1979). Option pricing: a simplified approach. Journal of Financial Economics, 7:229-263.

[Joy et al., 1996]
Joy, C., Boyle, P., and Tan, K. (1996). Quasi-monte Carlo methods in numerical finance. Management Science, 42:926-938.

[Kemna and Vorst, 1990]
Kemna, A. G. Z. and Vorst, A. C. F. (1990). A pricing method for options on average asset values. Journal of Banking and Finance, 14:113-129.

[Metropolis, 1987]
Metropolis, N. (1987). The Beginning of the Monte Carlo Method. Los Alamos Science, Special Issue, 125-130.

[Moro, 1985]
Moro, B. (1995). The Full Monte. Risk, 8:53-57.

[Dupire, 1998]
Dupire, B., ed. (1998). Monte Carlo: Methodologies and Applications for Pricing and Risk Management. Risk Books, London.

[Press et al., 1992]
Press, W., Flannery, B., Teukolsky, S., and Vetterling, W. (1992). Numerical Recipes: the Art of Scientific Computing. Cambridge University Press, New York.


Footnotes:

1 Scuola Estiva di Finanza Computazionale - Auronzo di Cadore (BL), 31 maggio - 2 giugno 2000. Email: paolop@unive.it, http://www.dma.unive.it/ ~ paolop.


File translated from TEX by TTH, version 2.21.
On 12 Dec 2000, 09:24.
Monaco Ý